Secondo teorema di Euclide - MatematicaconGeoGebra

MATEMATICA CON GEOGEBRA
________________________________________________________________
Matematica con GeoGebra
Vai ai contenuti

Menu principale:

Scuola > Geometria > Pitagora e Euclide

ISTITUTO COMPRENSIVO STATALE DI TOMBOLO
SCUOLA  SECONDARIA I° GRADO "MARCO POLO"
Gruppo Alunni "Geometria con Geogebra" 2008 - 2009

SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

Interpretazione geometrica del secondo teorema di Euclide


In un triangolo rettangolo  il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull' ipotenusa.

Osserviamo che:

Q1 = Q3 + R per il primo teorema di Euclide

Q1 = Q3 + Q2 per il teorema di Pitagora

Confrontando le due relazioni otteniamo che deve essere: Q3 + R = Q3 + Q2  cioè R = Q2


-   HC² è la superficie del quadrato costruito sull' altezza  relativa all' ipotenusa AB;

-   AH · HB è la superficie di un rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull' ipotenusa.

Possiamo dunque enunciare il secondo teorema di Euclide con la seguente formula:


HC² = AH · HB  






Il secondo teorema di Euclide dal punto di vista della similitudine


Consideriamo la figura 1b e esaminiamo gli elementi dei due rettangoli AHC e HBC  ottenuti dal triangolo rettangolo ABC dopo aver tracciato l'altezza CH relativa all' ipotenusa AB. Poiché la relazione di similitudine gode della proprietà transitiva avremo:

ABC simile AHC
                      }   AHC simile HBC
ABC simile HBC

I due triangoli AHC e HBC  avranno allora i lati corrispondenti  in proporzione, quindi:

       AH : HC = HC : HB  
                              

Questa  proporzione esprime il SECONDO TEOREMA  DI  EUCLIDE, che può  essere così enunciato :

In  ogni  triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa  è media proporzionale  tra le  proiezioni dei  cateti sull' ipotenusa.

In modo analogo possiamo  considerare la proporzione espressa dal secondo teorema di Euclide :


AH : HC = HC : HB


Ed applicare ad essa  la relazione fondamentale delle proporzioni :

HC · HC = AH · HB


Che possiamo scrivere nella forma :

HC² = AH · HB


LAVORI IN CORSO


© 2016 Created with WebSite X5 v13
Telefono +39
Email Address matematicacongeogebra@matematicacongeogebra.it
Privacy Policy
Torna ai contenuti | Torna al menu