SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
Interpretazione geometrica del secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull' ipotenusa.
Osserviamo che:
Q1 = Q3 + R per il primo teorema di Euclide
Q1 = Q3 + Q2 per il teorema di Pitagora
Confrontando le due relazioni otteniamo che deve essere: Q3 + R = Q3 + Q2 cioè R = Q2
- HC² è la superficie del quadrato costruito sull' altezza relativa all' ipotenusa AB;
- AH · HB è la superficie di un rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull' ipotenusa.
Possiamo dunque enunciare il secondo teorema di Euclide con la seguente formula:
HC² = AH · HB
Il secondo teorema di Euclide dal punto di vista della similitudine
Consideriamo la figura 1b e esaminiamo gli elementi dei due rettangoli AHC e HBC ottenuti dal triangolo rettangolo ABC dopo aver tracciato l'altezza CH relativa all' ipotenusa AB. Poiché la relazione di similitudine gode della proprietà transitiva avremo:
ABC simile AHC
} AHC simile HBC
ABC simile HBC
I due triangoli AHC e HBC avranno allora i lati corrispondenti in proporzione, quindi:
AH : HC = HC : HB
Questa proporzione esprime il SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE, che può essere così enunciato :
In ogni triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull' ipotenusa.
In modo analogo possiamo considerare la proporzione espressa dal secondo teorema di Euclide :
AH : HC = HC : HB
Ed applicare ad essa la relazione fondamentale delle proporzioni :
HC · HC = AH · HB
Che possiamo scrivere nella forma :
HC² = AH · HB