IL PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
Il quadrato costruito sul cateto è equivalente al rettangolo che ha come dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa stessa.
AC*AC=AI*AF; AB:AC=AC:AI.
Il quadrato ACDE è equivalente al parallelogramma GACK che a sua volta è equivalente al rettangolo AFIH. Allora per la proprietà transitiva avremo che il quadrato ACDE è equivalente al rettangolo AFIH, cioè, in altri termini:
AC*AC=AI*AF; AB:AC=AC:AI.
Prova a verificare con il foglio di lavoro dinamico per passare poi facilmene alla dimostrazione del teorema di Pitagora.
Dato il triangolo rettangolo ABC retto in C, tracciamo l'altezza CH relativa all'ipotenusa AB(figura 1A) in questo modo abbiamo ottenuto due triangoli rettangoli AHC e ABC. Essi hanno: (figura 1B)
-BCA=AHC=90°
-CAB=CAH perche è in comune
-ABC=HCA perche angoli complementari di AHC
Pertanto per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e hanno quindi i lati omologhi, che sappiamo sono sempre opposti agli angoli congruenti, in proporzione, cioè:
AB:AC = AC:AH
Osserviamo adesso i triangoli ABC e HBC essi hanno:
-BCA=CHB=90°
-ABC=HBC perche in comune
-CAB=BCH perche angoli complementari dell'angolo HBC
Pertanto per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e hanno quindi i liti omologhi in proporzione cioè:
AB:BC = BC:HB
Le due proporzioni precedenti esprimono il primo teorema di euclide che può essere cosi enunciato:
IN OGNI TRIANGOLO RETTANGOLO UN CATETO E' MEDIO PROPORZIONALE TRA L'IPOTENUSA E LA PROIEZIONE DEL CATETO STESSO SULL'IPOTENUSA.