L'omotetia - MatematicaconGeoGebra

MATEMATICA CON GEOGEBRA
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Scuola > Geometria > Le trasformazioni non isometriche

ISTITUTO COMPRENSIVO STATALE DI TOMBOLO
SCUOLA  SECONDARIA I° GRADO "MARCO POLO"
Gruppo Alunni "Geometria con Geogebra" 2008 - 2009


LE TRASFORMAZIONI NON ISOMETRICHE



Esistono in geometria delle trasformazioni non isometriche, in seguito alle quali le figure non restano congruenti, bensì si modificano in vari modi.
Per studiare e definire le trasformazioni geometriche occorre stabilire quali proprietà della figura trasformata non variano con la trasformazione.
Sono varianti: la forma; l'area; gli angoli; la lunghezza delle diagonali.
Sono invarianti: il parallelismo dei lati opposti; la lunghezza dei lati e quindi il perimetro.

Si dicono invarianti in una data trasformazione geometrica le proprietà di una figura comunque assegnata che si conservano nella figura trasformata.

Si dice omotetia di centro O e di rapporto K la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto P di una figura il punto P
I di un'altra figura in modo che i punti P e PI siano allineati con O e che il rapporto fra i segmenti OPI  e OP sia costante.  



La corrispondenza che si stabilisce tra i punti del piano nel modo descritto prende il nome di omotetia diretta. (K>0)
Il punto O si chiama centro dell'omotetia; il rapporto tra le due distanze è la costante di omotetia, prende il nome di rapporto o caratteristica e si indica con k.

La corrispondenza che si stabilisce tra i punti del piano nel modo descritto prende il nome di omotetia inversa. (K<0)
Il punto O prende il nome di centro dell' omotetia; il rapporto tra le due distanze è la costante di omotetia, prende il nome di rapporto di il rapporto o caratteristica e si indica con k.

L' omotetia fra due figure stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che:

-   mantiene il parallelismo tra i lati, lasciando quindi inalterata l' ampiezza degli angoli;
-   cambia le misure dei lati corrispondenti secondo un rapporto costante uguale alle caratteristiche.

Le dimensioni di una figura in una omotetia (diretta o inversa) dipendono dal valore del rapporto:

-   se k è maggiore di 1 (k > 1) si ottiene un ingrandimento;
-   se k è minore di 1 (k < 1) si ottiene un rimpicciolimento.

Il prodotto di due omotetie con centri diversi e rapporti h e k corrisponde a:

una traslazione se hk = 1, in questo caso il vettore di traslazione è il segmento orientato che congiunge una coppia di punti omologhi.  

Il prodotto di due omotetie con centri diversi e rapporti h e k corrisponde a:

una simmetria centrale se hk = -1,
in questo caso il centro della simmetria è il punto medio del segmento che congiunge una coppia di punti omologhi ed è allineato con i centri dell'omotetia.  

Il prodotto di due omotetie con centri diversi e rapporti h e k corrisponde a:

una omotetia di rapporto hk in generale, in questo caso il centro dell'omotetia è il punto di intersezione delle rette che congiungono due coppie di punti omologhi è tale punto appartiene alla retta dei centri dell'omotetia.  

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