LA PARABOLA
Si chiama parabola il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta fissa d, denominata direttrice.
A ogni parabola, avente asse parallelo all’asse y, corrisponde un’unica equazione cartesiana del tipo: y = ax 2 + bx + c
I numeri reali a ≠ 0, b, c sono chiamati coefficienti dell’equazione della parabola.
Dato il fuoco F (p, q) e la direttrice d: y = K (con q k) l'equazione della parabola si ottiene imponendo la proprietà caratteristica:
dist (P, F) = dist (P, d)
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Di particolare importanza è il primo coefficiente a, in quanto si verifica che:
se la parabola è tutta situata al di sopra della direttrice, ossia, come si vuol dire, volge la concavità verso l’alto, allora a è positivo;
se la parabola è tutta situata al di sotto della direttrice, ossia, come si vuol dire, volge la concavità verso il basso, allora a è negativo.
A seconda che siano nulli, uno o entrambi, i coefficienti b e c dell’equazione:
y = ax2 + bx + c, con a ≠ 0
si ottengono parabole situate in posizioni particolari rispetto agli assi coordinati. Più precisamente, si ha:
1) se (b = 0)
allora la parabola “y = ax2 + c” ha l’asse di simmetria coincidente con l’asse y
2) se (c = 0)
allora la parabola “y = ax2 + bx” passa per l’origine
3) se (b = 0) et (c = 0)
allora la parabola “y = ax2 ” ha l’asse di simmetria coincidente con l’asse y e il vertice nell’origine.
Il segno del discriminante Δ = b2 – 4ac dell’equazione risultante:
ax2 + bx + c = 0 del sistema:
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Consente di stabilire se la parabola sia secante, tangente oppure disgiunta rispetto all’asse x.
Infatti, si comprende facilmente che:
1) se (Δ > 0)
allora la parabola è secante l’asse x in due punti A e B di ascisse x1 e x2, reali e distinte;
2) se (Δ = 0)
allora la parabola è tangente all’asse x in due punti A e B sovrapposti, di ascisse x1 e x2, reali e coincidenti;
3) se (Δ < 0)
allora la parabola non interseca l’asse x, perché le soluzioni x1 e x2, non sono reali;
Per trovare la curva associata all’equazione algebrica di 2° grado:
x = ay2 + by + c
applichiamo la simmetria assiale, avente per asse la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Scrivere l’equazione della parabola: y = x2 – 4x + 10;
selezionare: conica per cinque punti, e posizionare 5 punti a scelta sulla parabola.
Scrivere l’equazione della bisettrice : y = x, e dopo “retta per due punti”.
Selezionare: simmetrico rispetto a una retta.
Ci concentriamo sul significato di a, b e c dell’equazione
y = ax2 + bx + c provando differenti valori per a, b e c.
Per fare ciò possiamo immettere le seguenti linee di comando nel campo di inserimento testo in fondo allo schermo (premere invio alla fine di ciascuna linea).
a = 1, b = 1, c = 1, y = a x^2 + b x + c.
Ora possiamo variare a, b e c usando il campo di inserimento testo o direttamente nella finestra algebra con un click destro su uno dei numeri e selezionando “Ridefinisci”.
Inoltre si possono modificare a, b e c molto facilmente usando i tasti freccia.
gli slider: click destro su a, b e c e selezionare Mostra / nascondi oggetto.
Posizioni reciproche di una retta rispetto a una parabola.
Una retta r può trovarsi in tre posizioni diverse rispetto a una parabola.
1) La retta è secante quando la interseca in due punti reali e distinti.
2) La retta è tangente quando la interseca in due punti coincidenti.
3) La retta è disgiunta quando non la interseca in alcun punto.
