Approfondimento sulla parabola - MatematicaconGeoGebra

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APPROFONDIMENTO SULLA PARABOLA

Di Vincenzo Picone

LA PARABOLA  

Si chiama parabola il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta fissa d, denominata direttrice.



A ogni parabola, avente asse parallelo all’asse y, corrisponde un’unica equazione cartesiana del tipo: y = ax 2 + bx + c

I numeri reali a ≠ 0, b, c sono chiamati coefficienti dell’equazione della parabola.

Dato il fuoco F  (p, q) e la direttrice d: y = K (con q k) l'equazione della parabola si ottiene imponendo la proprietà caratteristica:

dist (P, F) = dist (P, d)



      



Di particolare importanza è il primo coefficiente a, in quanto si verifica che:

     se la parabola è tutta situata al di sopra della direttrice, ossia, come si vuol dire, volge la concavità verso l’alto, allora a è positivo;


     se la parabola è tutta situata al di sotto della direttrice, ossia, come si vuol dire, volge la concavità verso il basso, allora a è negativo.





A seconda che siano nulli, uno o entrambi, i coefficienti b e c dell’equazione:

y = ax2 + bx + c,  con a ≠ 0

si ottengono parabole situate in posizioni particolari rispetto agli assi coordinati. Più precisamente, si ha:

1) se (b  = 0)

allora la parabola “y = ax2 + c” ha l’asse di simmetria coincidente con l’asse y

2) se (c  = 0)

allora la parabola “y = ax2 + bx” passa per l’origine

3) se (b  = 0) et (c  = 0)

allora la parabola “y = ax2 ” ha l’asse di simmetria coincidente con l’asse y e il vertice nell’origine.

Il segno del discriminante Δ = b2 – 4ac  dell’equazione risultante:
ax2 + bx + c = 0  del sistema:


 
Consente di stabilire se la parabola sia secante, tangente oppure disgiunta rispetto all’asse x.

Infatti, si comprende facilmente che:

1) se (Δ > 0)

allora la parabola è secante l’asse x in due punti A e B di ascisse x1 e x2, reali e distinte;

2) se (Δ = 0)

allora la parabola è tangente all’asse x in due punti A e B sovrapposti, di ascisse x1 e x2, reali e coincidenti;

3) se (Δ < 0)

allora la parabola non interseca l’asse x, perché le soluzioni x1 e x2, non sono reali;


Per trovare la curva associata all’equazione algebrica di 2° grado:

x = ay2 + by + c

applichiamo la simmetria assiale, avente per asse la bisettrice del primo e terzo quadrante.

Scrivere l’equazione della parabola: y = x2 – 4x + 10;

selezionare: conica per cinque punti, e posizionare 5 punti a scelta sulla parabola.

Scrivere l’equazione della bisettrice : y = x, e dopo “retta per due punti”.


Selezionare: simmetrico rispetto a una retta.


Ci concentriamo sul significato di a, b e c dell’equazione
y = ax2 + bx + c provando differenti valori per a, b e c.

Per fare ciò possiamo immettere le seguenti linee di comando nel campo di inserimento testo in fondo allo schermo (premere invio alla fine di ciascuna linea).

a = 1,  b = 1,  c = 1,  y = a x^2 + b x + c.

Ora possiamo variare a, b e c usando il campo di inserimento testo o direttamente nella finestra algebra con un click destro su uno dei numeri e selezionando “Ridefinisci”.
Inoltre si possono modificare a, b e c molto facilmente usando i tasti freccia.
gli slider: click destro su a, b e c e selezionare   Mostra / nascondi oggetto.

Posizioni reciproche di una retta rispetto a una parabola.

  Una retta r può trovarsi in tre posizioni diverse rispetto a una parabola.

1)   La retta è secante quando la interseca in due punti reali e distinti.
2)   La retta è tangente quando la interseca in due punti coincidenti.
3)   La retta è disgiunta quando non la interseca in alcun punto.

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