Approfondimento sull'iperbole - MatematicaconGeoGebra

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APPROFONDIMENTO SULL'IPERBOLE

Di Vincenzo Picone

L'IPERBOLE  

Si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti del piano, tali che è costante la differenza delle loro distanze da due punti fissi, F1 ed F2, detti fuochi.



La distanza fra i due fuochi si chiama, come per l'ellisse, distanza focale e viene indicata con 2c.

Utilizzando la definizione di iperbole si determina la sua equazione canonica:


I numeri a, b, c, sono chiamati:

a = semiasse trasverso, b = semiasse non trasverso, c = semiasse focale e, tra essi, sussiste la relazione:

c2 - a2 = b2

L’iperbole è una curva dotata di un primo asse di simmetria, coincidente con l’asse x.

L’iperbole è una curva dotata di un secondo asse di simmetria, coincidente con l’asse y.

L’iperbole è una curva dotata di centro di simmetria, coincidente con O, punto di intersezione dei due assi di simmetria, che sono perpendicolari.

L'andamento dell'iperbole può essere meglio precisato qualora lo si confronti con quello di una retta generica passante per l'origine (Asintoti dell'iperbole).






Si definisce eccentricità dell'iperbole il rapporto fra la semidistanza focale c e il semiasse maggiore a. Simbolicamente:

e = c/a


IPERBOLE EQUILATERA

Se un'iperbole ha le lunghezze dei suoi assi uguali fra loro si dice equilatera, e la sua equazione canonica si riduce alla forma:

x2 - y2 = a2

Tutte le iperboli equilatere hanno la stessa eccentricità:




Data un'iperbole equilatera, si possono assumere gli asintoti come assi del sistema di riferimento.

Applicando una rotazione di angolo 45° attorno all'origine O del vecchio sistema di riferimento si ha:






Se si dispongono i fuochi dell'iperbole sull'asse y, si ha:

IPERBOLO CON GLI ASSI DI SIMMETRIA PARALLELI AGLI ASSI CARTESIANI


Utilizzando le formule per la traslazione degli assi del sistema di riferimento, si trova l'equazione di una iperbole, avente il centro di simmetria non coincidente con l'origine O e gli assi di simmetria paralleli a quelli del sistema cartesiano


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